REKLAMA
REKLAMA

Dzielenie z resztą

Dzielenie z resztą

Gdy pytamy ile jest 10 podzielone przez 4, to możemy odpowiedzieć, że 2, reszta 2. Mamy tu na myśli, że w liczbie 10 ,,mieszczą się'' maksymalnie dwie pełne ,,czwórki'' i zostaje jeszcze liczba 2, w której już żadna ,,czwórka'' się ,,nie mieści''. Można to zapisać tak: $10:4=2, r. 2 $, bo $10=2\cdot 4+2$
Tak samo rozumując:
$\begin{split}
\ 5:4=1\ r. 1,&\text{ bo }5=1\cdot 4+1,\\
15:4=3\ r. 3,&\text{ bo }15=3\cdot 4+3,\\
2:4=0\ r. 2,&\text{ bo }2=0\cdot 4+2.\\
\end{split}$
Jasne, że reszta z dzielenia musi być mniejsza od liczby przez którą dzielimy.
Uogólniamy powyższe rozumowanie na dzielenie z resztą dowolnych liczb naturalnych:
Reszta z dzielenia liczby naturalnej $x$ przez liczbę naturalną $k$ jest liczbą naturalną $m< k$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna $p$, że $x=p\cdot k+m$.
Jeżeli reszta z dzielenia liczby naturalnej $x$ przez liczbę naturalną $k$ jest równa 0, to mówimy, że liczba $x$ jest podzielna przez liczbę $k$.
Tyle teorii, a jak to wygląda w praktyce?
Zadanie (Próbna matura, OPERON, listopad 2017)
Reszta z dzielenia liczby naturalnej $x$ przez $9$ jest równa $7$. Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez $9$ jest równa:
A. $2$
B. $4$
C. $6$
D. $8$
Rozwiązanie.
Z tego, że reszta z dzielenia liczby $x$ przez 9 jest równa 7 wynika, że $x=9p+7$, dla pewnej liczby naturalnej $p$. Zatem
$\begin{split}
x^2&=(9p+7)^2=81p^2+126p+49=\\
&=81p^2+126p+45+4=9\cdot \left(9p^2+14p+5\right)+4.
\end{split}$
Liczba $9p^2+14p+5$ jest liczbą naturalną, stąd wynika, że reszta z dzielenia liczby $x^2$ przez 9 jest równa 4.
Odpowiedź
Poprawna jest odpowiedź B.
Zadanie proste, ale jak zauważyliście, nie można lekceważyć nawet (a może zwłaszcza?) tego, czego się nauczyliście w szkole podstawowej.
Życzę miłych i owocnych chwil z matematyką
Tadeusz