REKLAMA
REKLAMA

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy geometrycznym, gdy istnieje taka liczba $q$, że $a_{n+1}=a_n\cdot q$, dla każdego naturalnego $n\geqslant 1$.
Jeżeli założymy, że wyrazy ciągu są różne od zera, to wtedy również $q\neq0$ i każdy wyraz ciągu można obliczyć ze wzoru $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
Jeżeli ponadto $q\neq1$ to suma $n-$początkowych wyrazów ciągu wyraża się wzorem $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$.
Z tą wiedzą możemy rozwiązać następujące, proste zadanie:
Zadanie (Próbna matura, OPERON listopad 2017)
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od 0. Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 0. Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A. $1000a_1$
B. $1001a_1$
C. $10$
D. $0$
Rozwiązanie
Iloraz ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ oznaczamy przez $q$. Wtedy $a_7=a_1q^6, \ a_8=a_1q^7$.
Z treści zadania mamy
$\begin{split}
a_7+a_8&=0\\
a_1q^6+a_1q^8&=0\\
a_1q^6\left(1+q\right)&=0.
\end{split}$
Wszystkie wyrazy oraz iloraz ciągu geometrycznego są różne od zera, stąd $a_1q^6\neq0$, zatem
$\begin{split}
1+q&=0\\
q&=-1.
\end{split}$
Obliczamy sumę tysiąca początkowych wyrazów ciągu:
$\begin{split}
S_{1000}&=a_1\cdot \frac{1-q^{1000}}{1-q}=a_1\cdot \frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)}=\\
&=a_1\cdot \frac{1-1}{1+1}=a_1\cdot \frac{0}{2}=0.
\end{split}$
Odpowiedź
Poprawna jest odpowiedź D.
Tyle na dzisiaj
Tadeusz