REKLAMA
REKLAMA

Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu

Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu.

Witam po Świętach. Może po kilku dniach błogiego lenistwa warto rozwiązać jedno zadanie?
Zaprezentuję Wam dzisiaj rozwiązanie zadania nr 10 z czerwcowej matury 2017 na poziomie rozszerzonym. Wszystkie narzędzia i pojęcia których użyjemy są w zasięgu ucznia, który uczy się matematyki w zakresie podstawowym, więc polecam kilka minut treningu umysłowego wszystkim maturzystom.
Oto zadanie.
Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_n)$. Wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $124$. Natomiast pierwszy wyraz $b_1$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_n)$ jest równa $18$. Wyznacz te ciągi.


Zanim przystąpimy do rozwiązania przypominamy podstawowe wiadomości o ciągu arytmetycznym i geometrycznym.
W ciągu arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$ suma $n$ początkowych wyrazów $S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n$, a wyraz ogólny $a_n=a_1+(n-1)r$.
W ciągu geometrycznym o pierwszym wyrazie $b_1$ i ilorazie $q$ wyraz ogólny $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$.
Te trzy wzory wystarczą. Przystępujemy do rozwiązania zadania.
Rozwiązanie.
Oznaczamy przez $q$ iloraz ciągu geometrycznego $\left(b_n\right)$, a przez $r$ różnicę ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$, wtedy z treści zadania: $a_1=q$ i $b_1=r$.
Z treści zadania wiadomo, że suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ jest równa $124$:
$\begin{split}
S_8&=124\\
\frac{2a_1+7r}{2}\cdot 8&=124\\
\left(2a_1+7r\right)\cdot 4&=124\\
2a_1+7r&=31\\
2a_1+7b_1&=31.
\end{split}$
O ciągu geometrycznym $\left(b_n\right)$ wiadomo, że
$\begin{split}
b_1+b_2=18\\
b_1+b_1\cdot q=18\\
b_1\left(1+q\right)=18\\
b_1\left(1+a_1\right)=18.
\end{split}$
Otrzymujemy układ równań:
$\begin{cases}
2a_1+7b_1=31\\
b_1\left(1+a_1\right)=18.
\end{cases}$
Zakładamy, że $1+a_1\neq0$, bo w przeciwnym razie równanie $b_1\left(1+a_1\right)=18$ jest sprzeczne.
Z drugiego równania wyznaczamy $b_1=\frac{18}{1+a_1}$ i podstawiamy do pierwszego równania:
$\begin{split}
2a_1+7\cdot \frac{18}{1+a_1}&=31\Big/\cdot \left(1+a_1\right)\\
2a_1+2{a_1}^2+126-31-31a_1&=0\\
2{a_1}^2-29a_1+95&=0\\
\Delta=(-29)^2-4\cdot 2\cdot 95=81, \ \ \sqrt{\Delta}=9&,\\
a_1=\frac{29-9}{4}=5\ &\vee\ a_1=\frac{29+9}{4}=\frac{38}{4}=\frac{19}{2}.
\end{split}$
Ciąg $\left(a_n\right)$ ma z założenia wyrazy całkowite, więc przyjmujemy $a_1=5=q$, stąd $b_1=\frac{18}{1+a_1}=\frac{18}{1+5}=3=r$.
Wyznaczamy wyrazy ogólne ciągów $\left(a_n\right)$ i $\left(b_n\right)$.
Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ wyraża się wzorem
$\begin{split}
a_n=a_1+(n-1)r=5+(n-1)\cdot 3=3n+5-3=3n+2.
\end{split}$
Wyraz ogólny ciągu geometrycznego $\left(b_n\right)$ wyraża się wzorem
$\begin{split}
b_n=b_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 5^{n-1}
\end{split}$
Odpowiedź.
Ciąg arytmetyczy $\left(a_n\right)$ określony jest wzorem $a_n=3n+2$. Ciąg geometryczny $\left(b_n\right)$ określony jest wzorem $b_n=3\cdot 5^{n-1}$.
Pozdrawiam wszystkich
Tadeusz