REKLAMA
REKLAMA

Anka i Danka

Anka i Danka


Zadanie nr 31, z wczorajszej próbnej matury z Operonem sprawiło wielu uczniom spory kłopot. Przedstawiamy naszą propozycję rozwiązania.
Zadanie 31.
Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata. Ile lat ma obecnie każda z dziewcząt?
Rozpatrujemy trzy momenty czasu. Teraźniejszość, moment w przeszłości i moment w przyszłości. Umiejscawiamy w tych momentach czasu dwie dziewczyny: Ankę i Dankę.
Aktualny wiek Anki oznaczamy przez $x$, a wiek Danki przez $y$. Zapisujemy to w tabelce:
   Aktualności //. ( pkt.)   655
,,Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza.'' - To zdanie mówi o przeszłości, tzn. że w przeszłości, Anka miała $y$ lat, bo tyle Danka ma teraz. Jednocześnie Anka była trzy razy starsza od Danki, to znaczy, że Danka wtedy była trzy razy młodsza od Anki, miała więc $\frac{1}{3}y$ lat. Zapisujemy wszystko w tabelce:
   Aktualności //. ( pkt.)   656
Przenosimy się w przyszłość, czytając kolejne zdanie: ,,Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata.''
W tej przyszłości wszystko jest jasne. Anka będzie miała 42 lata, a Danka tyle lat, ile Anka ma teraz, czyli $x$ lat.
Zapisujemy w tabelce:
   Aktualności //. ( pkt.)   657
Różnica wieku między Anką i Danką jest niezmienna. Zawsze, w przeszłości i w przyszłości, różnica będzie taka jak teraz, czyli $x-y$.
Mamy zatem do rozwiązania układ równań:
$\begin{cases}\begin{split}
&y-\frac{1}{3}y=x-y\\
&42-x=x-y
\end{split}\end{cases}$
$\begin{cases}\begin{split}
&\frac{2}{3}y+y-x=0\\
&y-2x=-42
\end{split}\end{cases}$
$\begin{cases}\begin{split}
&\frac{5}{3}y-x=0\Big/\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\\
&y-2x=-42
\end{split}\end{cases}$
$\begin{cases}\begin{split}
&-y+\frac{3}{5}x=0\\
&y-2x=-42
\end{split}\end{cases}$
Dodajemy równania stronami i otrzymujemy:
$\begin{split}
&\frac{3}{5}x-2x=-42\\
&-\frac{7}{5}x=-42\Big/\cdot \left(-\frac{5}{7}\right)\\
&x=42\cdot \frac{5}{7}\\
&x=6\cdot 5\\
&x=30
\end{split}$
Podstawiamy $x=30$ do równania $y-2x=-42$ i otrzymujemy:
$\begin{split}
&y-2\cdot 30=-42\\
&y=-42+60\\
&y=18.
\end{split}$
Odpowiedź:
Anka ma 30 lat, a Danka ma 18 lat.
Tyle o Ance i Dance.
Pozostałe zadania - wkrótce.
Zdajmy Razem!